P3 - Quantas diagonais tem um polígono convexo de n lados?
15-09-2013 14:28
Pode ser útil começar por alguns casos particulares. Por exemplo, o triângulo é o único polígono que não tem diagonais. Também não precisa delas, pois mantém-se sempre rígido. O quadrado tem apenas duas diagonais. No entanto, o pentágono já tem cinco, e o número de diagonais começa a aumentar cada vez mais rapidamente à medida que o número de lados aumenta.
Imagens
Parece que não conseguimos ver um padrão geral a partir destes casos particulares. No entanto, o problema anterior pode dar uma ajuda. Vejamos como: no pentágono, cada vértice é ligado a todos os outros quatro, isto é, há supostamente 5x4=20 ligações; mas a ligação entre os vértices A e B é a mesma que liga B a A, tal como com qualquer outro par de vértices, portanto existem apenas 20:2 = 10 ligações diferentes; ora, entre estas ligações também estão incluídas as 5 que ligam dois vértices consecutivos, isto é, os lados do polígono, que não são diagonais; assim, o pentágono tem (5x4):2-5 = 5 diagonais.
Vejamos o hexágono: cada um dos seus 6 vértices liga-se aos outros 5, o que daria 6x5=30 supostas diagonais; cada ligação está a ser contada duas vezes, portanto há apenas 30:2=15 'diagonais' diferentes; finalmente, temos de subtrair os lados do polígono, que, neste caso são 6; portanto, o hexágono tem (6x5):2-6 = 9 diagonais.
Tentemos o caso geral: num polígono convexo com n lados cada lado liga-se com os restantes n-1 lados de nx(n-1) formas; mas cada ligação está a ser contada duas vezes, portanto há nx(n-1):2 ligações diferentes; ora, neste polígono, há exatamente n ligações que correspondem ao número de lados do polígono; assim, um polígono com n lados tem nx(n-1):2-n diagonais, que, depois de efetuada a multiplicação e a subtração resultam (n2-3n):2 diagonais.
Está com dúvidas?
Verifiquemos o caso do hexágono: substituindo n por 6 na fórmula anterior obtemos (62-3x6):2 = (36-18):2 = 9; precisamente o valor obtido atrás.
No entanto, isto é apenas um caso particular. A demonstração formal de que aquela fórmula é válida para qualquer polígono pode ser feita por indução matemática. Mas isto é matemática mais avançada que ficará para outra oportunidade.