P4 - Quantas arestas tem a bola de futebol?
22-10-2013 15:52
Por acaso, uma bola de futebol tem arestas? Depende!... Sim, depende da bola!
Parece brincadeira, mas não é! Provavelmente o leitor já ouviu a expressão: «acertou nas orelhas da bola!» Mas também poderá ter ouvido «tudo é possível, pois a bola é redonda!» Afinal em que ficamos?
Que a bola é redonda, acho que ninguém tem dúvidas. No entanto, tem costuras que podem parecer arestas quando não está bem cheia. Sendo assim, pode não parecer redonda ou, pelo menos, completamente esférica. Observe a figura 3. Vê alguma semelhança com a bola da figura 1?
Figura 1 Figura 2 Figura 3
Pode parecer estranho, mas há mais surpresas matemáticas do que possa imaginar. Quando a bola não está bem cheia podemos ver que é formada por pentágonos e hexágonos regulares unidos entre si, as tais costuras ou arestas. Desta forma, deixa de ser uma esfera e passa a ser um poliedro. Sim, um poliedro que até tem nome próprio, apesar de um pouco estranho. Chama-se icosaedro truncado! Está a ver de onde vem este nome?
Observe o icasaedro da figura 2. Agora suponha que divide cada aresta em três partes iguais e, de seguida, faz um corte que passa a um terço da distância de cada vértice. O que acontece ao icosaedro? Como em cada vértice confluem 5 faces triangulares, ao 'truncar' os vértices obtemos cortes pentagonais. Além disso, todas as faces triangulares são transformadas em hexágonos regulares. Desta forma, o icosaedro da figura 2 transforma-se no icosaedro truncado da figura 3, que tem muitas parecenças com a bola de futebol da figura 1.
Centremo-nos agora no icosaedro truncada (afinal, a estrutura da bola de futebol). Quantas faces tem este poliedro, isto é, quantos pentágonos e hexágonos formam a sua superfície? Consegue contá-los? ... Achou fácil?
Pensemos um pouco antes de começar a contá-los um a um. Disse que cada vértice truncado origina um pentágono. Portanto, como o icasaedro tem 12 vértices (já sabia?) vão aparecer 12 pentágonos regulares. E quantos são os hexágonos? Ora, como os hexágonos ficam nas faces triangulares só temos de saber que o icasaedro tem 20 faces. Assim, temos exatamente 20 hexágonos. Finalmente, juntando os pentágonos com os hexágonos, concluímos que o icasaedro truncado tem 12+20=32 faces. Afinal, a bola de futebol tem 32 faces!
Continemos a contar até descobrir o número de arestas (costuras) da bola de futebol. Como há 20 hexágonos e cada um tem 6 lados, temos 20x6=120 arestas só para os hexágonos. Da mesma forma, cada um dos 12 pentágonos têm 5 lados, o que dá 12x5=60 arestas só para os pentágonos. Portanto, temos um total de 120+60=180 arestas. Mas atenção, cada uma destas arestas é sempre comum a dois polígonos, o que significa que foram contadas duas vezes. Assim, o número total de arestas da bola é 180:2=90. Quem diria? Talvez não imaginasse que fossem tantas.
Já que estamos a contar, determinemos o número de vértices do icosaedro truncado. Tem alguma estratégia? Há um fórmula que nos ajuda a contá-los, sem nos esquecermos de algum. A fórmula de Euler para poliedros convexos diz que F+V=A+2, em que F, V e A representam, respetivamente, o número de Faces, de Vértices e de Arestas do poliedro. Ora, como duas destas variáveis já são conhecidas podemos agora descobrir a terceira. Substituindo F e A na fórmula de Euler obtemos 32+V=90+2, de onde resulta V=92-32, ou seja, V=60. Portanto, a bola de futebol tem 60 vértices. São muitos? Olhe que não, até porque quantos mais tiver 'mais esférica' parece!
Veja onde nos conduz um simples icosaedro! Mas há mais...
Do icosaedro passamos para a bola de futebol e do futebol passamos ao futeboleno. O futeboleno consiste numa forma de carbono (carbono 60), que é constituída por 60 átomos deste elemento distribuídos por 12 pentágonos e 20 hexágonos, formando uma estrutura esférica perfeita. A sua designação em português deriva da sua semelhança estrutural com uma bola de futebol, enquanto a sua designação inglesa (buckminster-fullerene), deriva do nome do arquiteto e engenheiro americano Richard Buckminster Fuller, devido à semelhança estrutural com a cúpula geodésica que este desenhou para o pavilhão norte-americano da Exposição Mundial de 1967, em Montreal, Canada.
Molécula de Futeboleno Cúpula geodésica de Buckminster
Afinal, um simples icosaedro estabelece um ponto de contacto entre a Matemática, a Química e a Arquitetura.