P2 - Quantas diagonais tem um icosaedro?
07-09-2013 15:46
Note que o icosaedro não tem diagonais faciais (porquê?). Portanto, só queremos as espaciais. Mas estas estão dentro, o que torna a sua contagem mais dificil. Agora temos mesmo de ser imaginativos.
Comecemos por contar todos os segmentos definidos pelos vértices do poliedro, que sabemos serem pontos não colineares três a três (isto é, nunca há três vértices alinhados).
No caso do icasaedro, como tem 12 vértices, cada um deles define um segmento com os outros 11. Portanto, formam-se 12 x 11 = 132 segmentos. Porém, cada segmento está a ser contado duas vezes (isto é, o segmento AB é o mesmo que BA). Assim, existem apenas 132 : 2 = 66 segmentos diferentes.
No entanto, nestes 66 segmentos também estão incluídas as 30 arestas do icasaedo (problema anterior). Assim, o icosaedro tem apenas 66 - 30 = 36 diagonais (espaciais).